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认识不同的进制：二进制、八进制、十进制和十六进制

中等22
语言版本：C++Python
概述：就像用不同语言说数字一样，计算机也有自己的“语言”——二进制，而我们人类更常用十进制，八进制和十六进制则是中间的好帮手。

数字的“方言”：教你理解二进制、八进制、十进制和十六进制

你有没有想过，同一个数字在不同“语言”里写法会不一样？就像“5个苹果”用中文、英文、法文说出来，苹果还是那5个，但发音和写法不同。我们日常生活中最习惯的语言是十进制（用0~9十个数字），而计算机内部用的是二进制（只有0和1）。为了让人类和计算机更方便沟通，又出现了八进制和十六进制这两种“中间语言”。学会了它们，你就能看懂计算机世界里数字的真正模样了！

1. 四种进制，四种计数习惯

十进制（Decimal） —— 日常计数
我们数数时，0、1、2……9，数到10就进一位（满十进一）。比如你有23块零花钱，就是2个10块和3个1块。十进制是最自然的，因为人类有10根手指。

二进制（Binary） —— 计算机的母语
计算机里只有“开”和“关”两种状态，所以它用0和1两个数字，逢二进一。想象你有一个小盒子，每放2颗糖果，就往大盒子里放1颗，小盒子清空。这样，大盒子代表高位，小盒子代表低位。比如十进制的3，用二进制表示就是“11”（1个大盒子1颗，小盒子1颗，但大盒子也是2颗装？等一下，我们换个例子更清楚：

  • 十进制0 → 二进制0
  • 十进制1 → 二进制1
  • 十进制2 → 二进制10（小盒子满2，清空，大盒子加1）
  • 十进制3 → 二进制11（大盒子1，小盒子1）
  • 十进制4 → 二进制100（大盒子满2再进一位）

你会发现二进制写起来很长，比如十进制的10，二进制是1010。计算机里所有数据最终都是二进制。

八进制（Octal） —— 二进制的“缩写”
八进制用07共8个数字，逢八进一。为什么会有八进制？因为3位二进制正好可以表示07（000~111），所以八进制可以把二进制“卷”成更短的写法。比如二进制101 010（每3位一组）就是八进制的52（5*8+2=42）。八进制在早期计算机中很常见，现在偶尔也会用到（比如文件权限设置）。

十六进制（Hexadecimal） —— 最常用的“简写”
十六进制用09和AF共16个数字，其中A代表10，B=11，C=12，D=13，E=14，F=15，逢十六进一。为什么用字母？因为数字不够用了嘛。十六进制的一大好处是：1位十六进制数字正好表示4位二进制。比如二进制1010就是十六进制A。所以用十六进制看二进制数据，眼睛舒服很多（比如内存地址、颜色值#FF00FF）。

2. 在C++里，怎么“说”这些进制？

C++允许你直接使用不同进制的字面量（就是直接写在代码里的数字），编译时会被转换成相同的值。

进制写法规则例子（都表示十进制42）
十进制直接写数字42
二进制以 0b 开头（C++14起支持）0b101010
八进制以 0 开头052（注意是数字0，不是字母O）
十六进制以 0x 或 0X 开头0x2A 或 0X2a

重点： 不管用什么进制写，数字的大小是一样的。比如 42、0b101010、052、0x2A 都代表同一个数值——就像“四十二”、“forty-two”都指同一个数。

下面的代码定义了一个变量，用不同进制写法赋值，输出结果都一样：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int num1 = 42;          // 十进制42
    int num2 = 0b101010;    // 二进制42（C++14及以上版本）
    int num3 = 052;         // 八进制42
    int num4 = 0x2A;        // 十六进制42

    cout << "十进制42 = " << num1 << endl;
    cout << "二进制写法0b101010 = " << num2 << endl;
    cout << "八进制写法052 = " << num3 << endl;
    cout << "十六进制写法0x2A = " << num4 << endl;
    return 0;
}

运行结果全是 42，因为编译器把不同进制的字面量都转换成了内存里相同的二进制数。

3. 如何用cout“看”出不同进制的样子？

默认情况下，cout 输出数字是十进制。但我们可以用 hex、oct 等操控符（manipulator）来改变显示方式。注意：dec、oct、hex 就像开关，一旦设置，会影响后面所有输出，直到你改回来。

#include <iostream>
#include <bitset>   // 用于二进制输出
using namespace std;

int main() {
    int score = 100;  // 考试满分100分

    cout << "十进制: " << score << endl;          // 默认十进制
    cout << "八进制: " << oct << score << endl;  // 输出 144 (8进制)
    cout << "十六进制: " << hex << score << endl; // 输出 64
    cout << "二进制: " << bitset<8>(score) << endl; // 输出 01100100 （8位二进制，不足补0）

    // 注意：之后如果还想输出十进制，要手动切换回来
    cout << dec;  // 重新设回十进制
    cout << "又回到十进制: " << score << endl;     // 输出100
    return 0;
}

解释：

  • oct 让 cout 把数字按八进制显示。100的八进制是144（1个64，4个8，4个1）。
  • hex 显示十六进制，100的十六进制是64（6个16，4个1）。
  • 二进制不能用简单的操控符直接显示，所以我们借助 bitset<8>（需要 #include <bitset>），它会将整数转换成8位二进制字符串。<8> 表示显示8位，如果不够在前面补0。

4. 手动转换：就像用不同单位换算

十进制转二进制 —— 短除法
把十进制数不断除以2，记录每次的余数（从下往上读）。
例如十进制13：

13 ÷ 2 = 6 余 1
 6 ÷ 2 = 3 余 0
 3 ÷ 2 = 1 余 1
 1 ÷ 2 = 0 余 1

从下往上读余数：1101，所以13的二进制是1101。

十进制转八进制
不断除以8，取余数。13 ÷ 8 = 1 余 5，1 ÷ 8 = 0 余 1 → 八进制15。

十进制转十六进制
除以16，13 ÷ 16 = 0 余 13（即D） → 十六进制D。

反过来，任何进制转十进制：按位乘以基数（2、8、16）的幂次然后相加。比如二进制1101 = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8+4+0+1=13。

生活例子： 假设你攒了25颗糖果。

  • 十进制：直接写25。
  • 二进制：25 → 11001（16+8+0+0+1）。
  • 八进制：25 → 31（3×8+1）。
  • 十六进制：25 → 19（1×16+9）。

你看，不同进制只是“包装”方式不同，糖果数量没变。

5. 新手常见的“坑”

  1. 八进制数字里出现了8或9
    比如 int x = 08; 编译器会报错，因为八进制只允许0~7。虽然0开头让编译器以为你在写八进制，但数字8不合法。正确的写法：07表示7，010表示8。

  2. 十六进制字母大小写混淆
    0x1A和0x1a都可以，但不要写成0x1G（G不是0~F）。另外注意字母A～F对应10～15，不是a～f？其实大小写都可以，但建议统一大写或小写。

  3. cout的进制状态忘了改回来
    如果你用了cout << hex;，后面所有的整数输出都会变成十六进制，包括你不想改的。所以最好在输出不同进制前，先保存当前状态或者用完后立刻cout << dec;恢复。

  4. 二进制字面量0b需要C++14或更新版本
    如果你的编译器比较老（比如C++11），可能不支持0b，需要用其他方法写二进制（比如用bitset输入）。一般现在主流编译器都支持。

6. 完整示例：一个数字的全家福

下面程序定义了两个常见数（考试成绩和零花钱），展示它们的四种进制表示：

#include <iostream>
#include <bitset>   // 二进制输出需要
using namespace std;

int main() {
    int exam_score = 95;    // 考试成绩95分
    int money = 50;         // 零花钱50元

    cout << "=== 考试成绩 95 分 ===" << endl;
    cout << "十进制: " << exam_score << endl;
    cout << "八进制: " << oct << exam_score << endl;   // 输出137
    cout << "十六进制: " << hex << exam_score << endl; // 输出5f（小写）
    cout << "二进制: " << bitset<8>(exam_score) << endl; // 输出01011111

    // 恢复十进制，并输出零花钱
    cout << dec;  // 很重要！否则后面的输出也是十六进制
    cout << "=== 零花钱 50 元 ===" << endl;
    cout << "十进制: " << money << endl;
    cout << "八进制: " << oct << money << endl;    // 输出62
    cout << "十六进制: " << hex << money << endl;  // 输出32
    cout << "二进制: " << bitset<8>(money) << endl;  // 输出00110010

    return 0;
}

运行结果：

=== 考试成绩 95 分 ===
十进制: 95
八进制: 137
十六进制: 5f
二进制: 01011111
=== 零花钱 50 元 ===
十进制: 50
八进制: 62
十六进制: 32
二进制: 00110010

你可以看到，同一个数在不同进制下“长相”差别很大，但数值完全一样。

7. 学完这个，下一步可以看什么？

进制转换是计算机基础中的基础。理解了它，你就能更好地理解：

  • 位运算：按位与（&）、或（|）、异或（^）、取反（~）、左移（<<）、右移（>>）等操作，都是直接对二进制位进行的，在游戏编程、加密算法中经常用到。
  • 内存地址与指针：内存地址通常用十六进制显示（比如0x7ffeefbff5a8），了解十六进制能让你看懂调试信息。
  • 颜色值：网页颜色如#FF8800其实就是十六进制表示的RGB颜色（R=FF, G=88, B=00）。
  • 更多的进制转换算法：你可以试着写一个程序，输入十进制数，输出它的二进制、八进制、十六进制（自己实现短除法，不用cout的操控符）。

继续加油，你已经掌握了数字的“方言”，以后看计算机的世界会更清晰！

例题精讲

1单选题

二进制数101101转换为十进制数是多少？

A45
B53
C43
D55
2判断题

在C++中，使用八进制数时，数字前应加前缀0o？

3填空题
以下C++代码使用std::hex将十进制255输出为十六进制，请填空：
#include <iostream>
int main() {
    int a = 255;
    std::cout << ___ << a << std::endl;
    return 0;
}
4单选题

十六进制数A3F转换为二进制，以下哪个是正确的？

A1010 0011 1111
B1010 0011 0111
C1011 0011 1111
D1010 0101 1111
5填空题
以下C++代码使用std::oct将十进制100输出为八进制，请填空：
#include <iostream>
int main() {
    int a = 100;
    std::cout << ___ << a << std::endl;
    return 0;
}