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八级

34 个知识点

GESP 八级：组合数学、最短路、最小生成树、算法优化

C++17 个知识点

计数原理

3 个知识点

加法原理、乘法原理

困难

C++加法原理——把不同的事情加起来

加法原理告诉我们，如果完成一件事有几种不同的方法，那么总方法数就是各种方法数加起来。

困难

C++乘法原理——一步一步算总账

乘法原理说，如果做一件事要分几步，每一步都有几种选择，那么总方法数就是把每一步的选择数乘起来。

困难

加法与乘法原理的联合使用

在复杂问题中，我们常常需要先分类再用乘法，或者先分步再用加法，综合运用两个原理。

排列组合

3 个知识点

排列、组合的概念及编程实现

困难

排列：排队有顺序

排列就像给队伍排座位，谁在前面谁在后面都很重要，用C++可以轻松生成所有可能的排队顺序。

困难

组合：选人不排队

组合就像从一群人里选出几个同学一起做值日，谁先谁后没区别，用C++可以把所有选法都列出来。

困难

自己动手实现排列与组合

不用现成的函数，用递归自己动手写排列和组合的算法，能更深入地理解它们是如何工作的。

杨辉三角形

2 个知识点

杨辉三角形的概念与应用

困难

C++杨辉三角形

用搭积木的方式理解杨辉三角形的规律，并学习用C++代码打印出这个神奇的数字三角形。

困难

C++杨辉三角形的应用

用杨辉三角形快速计算组合数，并了解它在二项式展开和路径计数中的实际用途。

倍增法

2 个知识点

倍增法的概念及时间复杂度分析

困难

跳台阶的智慧：倍增法思想

用“每次跳2^k步”的比喻讲解倍增法，告诉你为什么用指数级跳跃可以快速解决问题。

困难

大树中的祖先：用倍增法找最近公共祖先

用“大树分枝”的比喻解释如何用倍增法快速找到两个节点的最近公共祖先，并给出C++完整实现。

图论进阶

4 个知识点

最小生成树(Kruskal/Prim)、最短路径(Dijkstra/Floyd)

困难

C++最小生成树 Kruskal 算法

用最少的成本连接所有点，就像给村庄修路一样省材料

困难

C++最小生成树 Prim 算法

从任意一点开始，每次选离当前树最近的点，像滚雪球一样扩大

困难

C++最短路径 Dijkstra 算法

从一个城市到所有其他城市的最短路线，像导航软件那样

困难

C++最短路径 Floyd 算法

一次性算出所有城市对之间的最短路线，像查地图册

算法优化

3 个知识点

时间和空间效率分析、数学知识辅助优化技巧

困难

时空效率分析

学会用“时间”和“空间”两个尺子衡量算法的好坏，就像评价一个游戏既要快又要不占内存。

困难

算法优化策略

用生活中的小窍门（比如抄近路、整理书包）来改进算法，让程序跑得更快、用得更省。

困难

数学知识辅助优化

用数学公式或性质（比如最大公约数、平方根）简化计算，让程序既快又准。

Python17 个知识点

计数原理

3 个知识点

加法原理、乘法原理

中等

加法原理——选一个就好

当你要从几类事情中任选一件来做时，总的方法数就是各类方法数相加。

困难

乘法原理——一步一步来

当一件事需要分几步完成，并且每一步都有不同的选择时，总的方法数就是各个步骤的选择数相乘。

困难

加法与乘法原理的结合——解决复杂问题

面对复杂问题，先用加法原理区分不同情况，再对每种情况用乘法原理分步计算。

排列组合

3 个知识点

排列、组合的概念及编程实现

中等

Python中的排列——给小伙伴排座位

通过排座位的例子，讲解排列的概念以及如何使用Python的permutations函数生成所有可能的排列。

中等

Python中的组合——挑选水果拼盘

用挑选水果的例子解释组合的概念，以及如何使用combinations函数生成所有组合。

困难

用Python自己实现排列与组合——不靠现成函数

讲解如何在不解使用itertools的情况下，用递归或循环方式手动编写排列和组合的代码。

杨辉三角形

2 个知识点

杨辉三角形的概念与应用

中等

认识杨辉三角形——用Python搭一个数字金字塔

用搭积木的方式理解杨辉三角形的规律，并学习如何用Python代码把这个古老而神奇的数字三角打印出来。

困难

杨辉三角形的妙用——用Python算组合数、解决抽奖和概率问题

学习杨辉三角形在选队长、抽奖、足球排列等生活场景中的应用，并用Python代码快速计算任意位置的组合数。

倍增法

2 个知识点

倍增法的概念及时间复杂度分析

困难

倍增法思想：像魔法跳跃一样快速到达终点

本文用“翻倍跳跃”的比喻，讲解倍增法预处理和查询的思想，并给出Python代码实现。

困难

倍增法的应用：快速幂和最近公共祖先

本文介绍倍增法在快速幂和树中寻找最近公共祖先（LCA）两个经典应用，用生活比喻帮助理解。

图论进阶

4 个知识点

最小生成树(Kruskal/Prim)、最短路径(Dijkstra/Floyd)

困难

Python最小生成树 Kruskal 算法

把城市之间的道路想象成绳子，Kruskal算法像搭积木一样，每次选最短的绳子连接两个城市，同时避免形成环，最后用最少的绳子把所有城市连起来。

困难

Python最小生成树 Prim 算法

从一个城市开始，像种树一样，每次选择离当前树最近的新城市加入，直到所有城市都被连起来，最终用最少的道路连通所有城市。

困难

Python最短路径 Dijkstra 算法

从起点出发，像“贪吃蛇”一样每次去最近的新地点，并记下到达每个地点的最短距离，最终得到从起点到所有地点的最短路径。

困难

Python最短路径 Floyd 算法

像“中间人”一样，逐一尝试每个城市作为中转站，看看是否能让任意两个城市之间的路程变得更短，最终得出所有城市对之间的最短距离。

算法优化

3 个知识点

时间和空间效率分析、数学知识辅助优化技巧

困难

Python时空效率分析

了解程序的运行时间和内存使用就像比较你做作业的速度和书桌的大小，帮助选择更高效的算法。

困难

Python算法优化策略

通过几个简单的方法，比如用“备忘录”记住结果、选对数据结构，可以让程序跑得更快。

困难

Python数学知识辅助优化

利用数学小技巧，比如只检查到平方根、用公式直接算，能大大减少程序的工作量。