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五级

57 个知识点

GESP 五级：数论、高精度、线性表、贪心、分治

C++31 个知识点

初等数论

5 个知识点

素数、合数、最大公约数、最小公倍数、同余与模运算

困难

C++素数

什么是素数，以及如何用C++代码判断一个数是不是素数。

困难

C++最大公约数（GCD）

什么是最大公约数，以及如何用C++计算两个数的最大公约数。

困难

C++最小公倍数（LCM）

什么是最小公倍数，以及如何用C++计算两个数的最小公倍数。

困难

C++同余与模运算

什么是模运算和同余，以及如何在C++中正确使用取模运算符%。

困难

C++质因数分解

什么是质因数分解，以及如何用C++代码将一个合数分解成质因数的乘积。

数论算法

4 个知识点

辗转相除法（欧几里得算法）、埃氏筛法、线性筛法、唯一分解定理

困难

辗转相除法——找两个数的最大公约数

辗转相除法，也叫欧几里得算法，是一种快速求两个数最大公约数的方法，像用尺子量布料一样，反复用大数减小数的倍数。

困难

埃氏筛法——找到所有小质数

埃氏筛法像用一个筛子把合数筛掉，留下质数，是一种简单又高效的找给定范围内所有质数的方法。

困难

线性筛法——每个合数只筛一次

线性筛法是在埃氏筛法基础上的改进，保证每个合数只被它的最小质因子筛掉一次，速度更快。

困难

唯一分解定理——每个合数都能拆成质数积

唯一分解定理说每个大于1的整数都可以写成若干个质数的乘积，而且这种写法是唯一的（不考虑顺序）。

高精度计算

4 个知识点

用数组模拟高精度加法、减法、乘法、除法

困难

高精度加法——像列竖式一样计算超大数

用数组模拟手算加法，解决普通整型装不下的超大数相加问题。

困难

高精度减法——借位就像找邻居帮忙

模拟手算减法的借位过程，实现超大整数的减法运算。

困难

高精度乘法——多位数乘多位数的拆解游戏

把乘法拆成一次一次的个位乘法再累加，模拟手算竖式过程。

困难

高精度除法——用减法模拟长除法

模拟手算长除法，逐位试商，用减法实现除法运算。

线性表

4 个知识点

STL中的vector、queue、stack；单链表、双链表

中等

C++ STL vector 动态数组 —— 可以自动变长的大箱子

vector就像一个可以自动变大变小的箱子，你想放多少东西就放多少，不用一开始就定好大小。

中等

C++ STL queue 队列 —— 像排队买奶茶一样

队列是一种“先进先出”的数据结构，先来的人先服务，后来的排后面。

中等

C++ STL stack 栈 —— 像叠盘子一样后进先出

栈是一种“后进先出”的数据结构，最后放进去的东西总是最先被拿出来。

困难

C++单链表与双链表 —— 像火车车厢一样一节连一节

链表是一连串节点，每个节点存着数据和指向下一个节点的指针，可以灵活地插入和删除。

二分查找

3 个知识点

二分查找算法、二分答案思想

困难

C++二分查找算法

二分查找像猜数字游戏一样，每次从中间猜，快速找到目标值。

困难

C++二分答案思想

二分答案像猜一个“可行”的数字范围，每次检查中间值是否满足条件。

困难

C++二分查找经典问题

二分查找不仅能找确切值，还能找到第一个大于等于某数的位置、最后一个小于等于某数的位置等。

递归

4 个知识点

递归的基本原理、递归优化策略、递归的时空复杂度分析

困难

递归算法的时间与空间复杂度估算

递归就像俄罗斯套娃——每一层套娃里都装着一个小一点的套娃，直到最小的那个不再装了。在编程中，递归就是函数调用自己。

中等

C++递归的基本原理

递归就像俄罗斯套娃，一个函数调用自己来解决更小的问题，直到遇到最简单的情况。

困难

C++递归的调用过程

用“叠盘子”的比喻，讲解递归函数如何像一层层进入房间，再一层层返回，并附上倒序计数的代码示例。

困难

C++递归优化策略

用“借书记录单”的比喻，教你如何给递归程序“减负”，避免重复计算，让程序跑得更快。

贪心算法

3 个知识点

贪心策略、最优子结构、典型贪心应用

中等

贪心算法思想：每次选最好的，然后呢？

贪心算法就像在糖果堆里每次都挑最大块，虽然不一定最终得到最多的糖，但很多问题这样就能解决。

困难

贪心典型应用：活动安排问题

活动安排问题就像排课表，每次选结束最早的活动，就能安排最多的活动。

困难

最优子结构：贪心算法的“体检报告”

最优子结构指全局最优解可以由局部最优解组成，这是贪心算法能成功的“体检标准”。

分治算法

4 个知识点

归并排序、快速排序的原理与实现

困难

常见排序的时间复杂度与空间复杂度与稳定性

在实际应用中（如按多个关键字排序），稳定性可以避免额外的数据移动。例如先按姓名排序，再按年龄排序（稳定排序能保持姓名顺序）

困难

分治算法：把大问题切成小块吃掉的智慧

分治算法是一种“分而治之”的思想，把复杂问题拆成简单小问题，解决后再合并，就像收拾散落的拼图一样。

困难

归并排序：像整理两堆扑克牌一样排好序

归并排序先把数组不断对半切分，直到每组只剩一个元素，再两两合并成有序序列，就像把两摞已排好的牌合并成一摞。

困难

快速排序：选一个“班长”帮大家排好队

快速排序通过选择一个基准元素，把较小的挪到左边、较大的挪到右边，然后递归处理两边，就像班长先把比自己矮和高的同学分开，再分别排队。

Python26 个知识点

初等数论

5 个知识点

素数、合数、最大公约数、最小公倍数、同余与模运算

困难

Python素数判断

学习如何用Python判断一个数是不是素数，就像检查一个数字是否只有两个好朋友（1和它自己）。

困难

Python最大公约数（GCD）

最大公约数就是两个数能同时整除的最大的那个数，就像两个人能一起公平分东西的最大份数。

困难

Python最小公倍数（LCM）

最小公倍数是两个数共同的倍数中最小的那个，就像两个人下次同时过生日要等多少年。

困难

Python同余与模运算

同余就是两个数除以同一个数后余数相同，就像钟表上3点和15点都指向同一个位置。

困难

Python质因数分解

把一个数拆成若干个素数相乘的形式，就像把数字拆成不能再拆的最小积木块。

数论算法

4 个知识点

辗转相除法（欧几里得算法）、埃氏筛法、线性筛法、唯一分解定理

困难

辗转相除法（欧几里得算法）

用反复相除的方法求两个数的最大公约数，就像用尺子量布一样简单。

困难

埃氏筛法

像用筛子筛掉合数一样，快速找出一定范围内的所有质数。

困难

线性筛法

每个合数只被它的最小质因子筛一次，比埃氏筛更快，数组量级也能轻松应对。

困难

唯一分解定理

任何一个大于1的整数都可以唯一地写成若干个质数相乘的形式，就像每块积木都能拆成基本零件。

高精度计算

1 个知识点

用数组模拟高精度加法、减法、乘法、除法

中等

Python高精度计算简介

介绍Python中整数可以无限大的特性，以及如何利用它轻松处理超大数字的运算。

线性表

4 个知识点

STL中的vector、queue、stack；单链表、双链表

困难

Python列表高级用法

学习如何用切片、排序、列表推导式等高级技巧玩转Python列表，像整理书包一样高效管理数据。

困难

Python队列（collections.deque）

学习使用deque实现队列，像排队买票一样先来先服务，高效地添加和删除元素。

困难

Python栈（列表模拟）

学习用Python列表模拟栈，像叠盘子一样后进先出，轻松实现撤销、括号匹配等功能。

困难

Python链表

学习用类创建链表，像火车车厢一样连接数据，灵活地插入和删除节点。

二分查找

3 个知识点

二分查找算法、二分答案思想

中等

Python二分查找

二分查找像猜数字游戏，通过每次与中间元素比较，快速缩小搜索范围，在有序列表中高效找到目标。

困难

Python二分答案思想

二分答案不是直接找某个数，而是用二分法猜测答案，再检查这个答案是否可行，适用于求“最大值最小”或“最小值最大”等问题。

困难

Python二分查找经典问题

二分查找经典问题包括：在有序数组中查找第一个或最后一次出现的位置、寻找插入位置、求平方根等，掌握这些能应对常见编程挑战。

递归

3 个知识点

递归的基本原理、递归优化策略、递归的时空复杂度分析

困难

递归的基本原理——像套娃一样的函数

递归就是函数调用自己解决问题，就像俄罗斯套娃一层层打开，直到最小的娃娃。

困难

递归的调用过程——就像倒放录像带

递归函数调用时会一层层“叠起来”，等到终止条件后再一层层“展开”，就像视频倒放一样。

困难

递归优化策略——别让程序“卡住”

通过记忆化和改写成迭代，让递归更快，避免重复计算和栈溢出。

贪心算法

3 个知识点

贪心策略、最优子结构、典型贪心应用

困难

贪心算法思想：每次选最好的

贪心算法就像吃自助餐时每次拿最爱吃的菜，通过每一步都选当前最优解，最终得到整体不错的方案。

困难

贪心典型应用：活动选择与背包

活动选择、部分背包问题等经典场景中，贪心策略能高效找到最优或近似最优解。

困难

最优子结构：贪心的底气

如果一个问题的最优解包含子问题的最优解，就称它有最优子结构，贪心算法正是利用这一点前进。

分治算法

3 个知识点

归并排序、快速排序的原理与实现

中等

分治算法思想

把大问题拆成小问题，解决小问题再合并结果，就像分小组完成任务一样简单。

困难

Python归并排序

归并排序像合并两堆有序的扑克牌，先把一堆牌分成单张，再两两合并成有序的一堆。

困难

Python快速排序

快速排序像排队游戏，选一个“标杆”，高的站右边，矮的站左边，然后分别对左右两边重复操作。