让Python帮你找出素数

同学们，你们知道什么是素数吗？素数也叫质数，它就像班里一个特别“挑剔”的同学，只愿意和两个朋友玩——1和它自己。比如数字7，只能被1和7整除，所以7是素数。而数字6除了1和6，还能被2和3整除，朋友很多，所以6不是素数，而是合数。

在编程里，我们经常需要判断一个数是不是素数。比如做加密游戏、分配奖品时，都需要用到素数。今天我们就用Python来写一个“素数识别器”，让程序帮我们快速检查一个数字是不是素数。

什么是素数？用生活例子理解

假设你有8颗糖果，想分给一些同学，要求每个人分到的数量相同，而且不能有剩余。如果你分给1个人，他得到8颗；分给2个人，每人4颗；分给4个人，每人2颗；分给8个人，每人1颗。因为除了1和8之外，还能找到其他分法（2和4），所以8不是素数，它是合数。

但如果你有7颗糖果，除了分给1个人（得7颗）或分给7个人（每人1颗），再也找不到其他分法了。因此7是素数。

结论：一个数如果只能被1和它本身整除，它就是素数。注意，1比较特殊——它只能被1整除，但不符合“两个不同朋友”的条件（1和它自己是同一个数字），所以1不是素数。

如何用Python判断素数？——基础方法

核心思路很简单：从2开始检查，一直检查到这个数减1，看看有没有其他数字能整除它。如果都没有，它就是素数。

下面是一个基本的判断函数：

def is_prime(n):
    if n <= 1:          # 1不是素数，0和负数也不是
        return False
    for i in range(2, n):  # 从2到n-1逐个检查每个整数
        if n % i == 0:     # 如果n能被i整除
            return False   # 说明找到了第三个朋友，不是素数
    return True            # 没有找到其他朋友，是素数

# 测试几个数
print(is_prime(7))   # 输出 True
print(is_prime(10))  # 输出 False
print(is_prime(2))   # 输出 True（2是素数）

你可以把数字想象成班级里的一个同学。素数同学很孤独，只跟1和它自己玩。而合数同学朋友很多，除了1和自己，还有别的数字能跟它玩。通过循环检查，我们用Python帮每个数字数一数它的朋友数量，就知道它是不是素数了。

小提示：上面的代码虽然简单，但检查到n-1有点慢。比如判断一个大数1000000，要循环近100万次，很费时间。怎么优化呢？接着往下看。

优化方法：只检查到平方根

为什么可以只检查到平方根？
假设n不是素数，它有两个因子a和b，且a ≤ b。那么a一定小于等于√n（否则a × b > n）。所以只要检查从2到√n有没有能整除n的数，就足够了。如果到√n都没找到除数，那么√n之后也不会有。

比如判断100，√100=10。我们只需要检查2~~10之间有没有数能整除100。2可以，所以100不是素数。如果检查到10还没找到，比如101，√101≈10.05，检查2~~10都没有，101就是素数。

我们来写一个更快的版本：

import math

def is_prime_fast(n):
    if n <= 1:                    # 1和更小的数不是素数
        return False
    if n == 2:                    # 2是唯一的偶数素数
        return True
    if n % 2 == 0:                # 其他偶数都不可能是素数
        return False
    limit = int(math.sqrt(n))     # 计算平方根，并转为整数
    for i in range(3, limit + 1, 2):  # 只检查奇数，从3开始，步长为2
        if n % i == 0:            # 如果能被i整除
            return False          # 不是素数
    return True                   # 通过所有检查，是素数

# 测试
print(is_prime_fast(97))   # 输出 True
print(is_prime_fast(169))  # 输出 False（13×13=169）
print(is_prime_fast(2))    # 输出 True

这个优化版本不仅只检查到平方根，还跳过了所有偶数（因为除了2之外，偶数的质因数肯定是2，一开始就排除掉了），速度提升了很多。

常见错误（新手最容易犯）

忘记处理1和负数
有些同学直接写 for i in range(2, n): 然后返回True，这样当n=1时，循环根本不会执行，直接返回True，但1不是素数。所以一定要先判断 n <= 1。
循环范围写成 range(2, n+1)
这样会检查到n本身，而任何数都能被自己整除，就会错误地返回False。记住检查到n-1就够了（或者到平方根）。
忘记考虑2是素数
如果代码中先检查偶数并返回False，就会把2也判成合数。所以要先单独处理2。
取模运算 % 用成除法 /
n % i 得到余数，判断余数是否为0；如果用 n / i 得到的是小数，不能直接判断整除。记住用 %。

完整示例：让用户输入一个数并判断

下面是一个完整的程序，用户输入一个整数，程序告诉我们它是不是素数：

import math

def is_prime(n):
    """判断一个整数是不是素数，返回True或False"""
    if n <= 1:                     # 1、0和负数都不是素数
        return False
    if n == 2:                     # 2是素数
        return True
    if n % 2 == 0:                 # 其他偶数不是素数
        return False
    limit = int(math.sqrt(n))      # 取平方根的整数部分
    for i in range(3, limit + 1, 2):  # 从3到平方根，只检查奇数
        if n % i == 0:             # 如果能整除
            return False           # 不是素数
    return True                    # 是素数

# 主程序：用户输入，输出结果
user_num = int(input("请输入一个整数："))   # 用户输入数字
if is_prime(user_num):
    print(f"{user_num} 是素数！")
else:
    print(f"{user_num} 不是素数。")

你可以运行这个程序，输入不同的数字测试一下。

Python素数判断