C++加法原理——把不同的事情加起来 - 八级

加法原理：把不同的事情加起来——轻松搞定分类计数

你有没有遇到过这种情况：今天中午去食堂吃饭，主食有米饭、面条、馒头三种，配菜有红烧肉、番茄鸡蛋、青菜豆腐三种，汤有紫菜蛋花汤和番茄汤两种。你想选一个“主食+配菜+汤”的套餐？那是乘法原理，我们以后再说。但如果你只想知道一共有多少种主食可以选，那很简单：3种。要是你想知道“今天你能吃多少种完全不同类型的午餐”？比如：你可以只吃米饭，或者只吃面条，或者只吃馒头（别管搭配），那么总共有3种方式。这就是加法原理的核心思想：如果完成一件事有几种不同的方法，且这些方法之间互不重叠，那么总的方法数就是各种方法数加起来。

加法原理就像你口袋里的零花钱——你有5元、2元、1元各一张，你想买一支3元的笔，你可以用5元（但找零麻烦），或者用2元+1元（正好），或者用1元+3次（但你没有3个1元）。这里每种付款方式都是不同的“方法”，并且互不重叠（一次付款只用一种方案），那么总方法数就是这些方案数加起来。当然，生活中我们可能不计较找零，但编程里我们常常用加法原理来统计“满足不同条件”的数据个数。

一、什么是加法原理？—— 一句话 + 一个生活例子

加法原理（也叫分类计数原理）是说：如果完成一件事有 $n$ 类互不重叠的方法，第一类有 $m_1$ 种方法，第二类有 $m_2$ 种方法，……，第 $n$ 类有 $m_n$ 种方法，那么完成这件事共有 $m_1 + m_2 + \cdots + m_n$ 种方法。

生活例子1：周末出去玩的选择
小明周末想出去玩，他可以选择去公园玩（有3个小项目：划船、碰碰车、摩天轮），或者去图书馆（有2种活动：看书、听讲座），或者去电影院（有4部电影可看）。注意，“去公园”“去图书馆”“去电影院”是三类完全不同的活动，不能同时进行（你不可能既在公园又同时在电影院）。所以小明周末有多少种不同的玩法？答案是 $3 + 2 + 4 = 9$ 种。

生活例子2：课间零食选择
班上有三种零食：巧克力（5种口味）、饼干（3种口味）、果冻（2种口味）。你每节课间可以选一种零食吃（但一次只能吃一种），那么你一共有多少种选择？ $5+3+2=10$ 种。如果有一天你特别饿，想同时吃巧克力和饼干，那就不是加法原理了，那是组合问题。

二、加法原理在编程中的核心要求：分类互不重叠

使用加法原理时，最最重要的条件就是：各类之间没有重叠。如果一件事情可以同时属于两类，那么直接相加就会重复计算。比如你要统计“1到10中，是偶数或者大于5的数”。注意：比如6、8、10既是偶数又大于5，如果分别数偶数（2,4,6,8,10共5个）和大于5的数（6,7,8,9,10共5个），相加得到10，但实际只有2,4,6,7,8,9,10共7个（因为6,8,10被重复算了）。这就是重叠带来的错误。不过别担心，后面你学了“容斥原理”就能解决这类问题。但在我们目前的题目里，通常题目会保证类别互不干扰，比如“个位是3”和“个位是5”永远不会同时成立，所以可以直接加。

判断是否互斥的小技巧：
问问自己：有没有一个数（或一个情况）可以同时属于两类？如果不可能，就放心相加。比如“性别是男”和“性别是女”互斥，“身高超过150cm”和“身高不超过150cm”互斥。但“年龄是10岁”和“身高是130cm”就不互斥（一个孩子可以同时满足）。

三、常见的加法原理编程场景

按不同位数的特征分类
例如：统计1~~100中，个位是2或者百位是3的数。（注意：一个数同时满足两个条件不可能？实际可能，比如132个位是2且百位是1？不，百位是3的如300~~399，个位是2的如2,12,...，它们可能重叠吗？比如302？个位是2，百位是3，重叠！所以不能直接加，需要容斥。但如果是“个位是2”和“个位是3”，永远不会重叠，可以加。）
按不同的条件筛选
例如：统计一个班级里，语文考满分的人数加上数学考满分的人数。如果没有人同时两科满分，就可以直接加；否则要减去同时满分的人数。
按不同类别统计
例如：今天学校来了三种类型的家长：爸爸、妈妈、爷爷奶奶。分别统计数量后，总家长数就是三者之和（因为一个人不可能同时是爸爸和妈妈）。

四、新手最容易犯的错误

忘记检查互斥性：直接看到两个条件就相加，结果重复计数。比如统计“能被2整除或者能被3整除的数”，如果直接数能被2的个数 + 能被3的个数，会把既能被2又能被3（即能被6整除）的数重复算两次。
混淆加法原理和乘法原理：加法原理是“要么选A类，要么选B类”，乘法原理是“先选A类，再选B类”。比如“中午套餐有2种主食和3种饮料，一共有多少种搭配？”这是乘法（2×3=6）。而“今天休息可以选择去打篮球或者去游泳，打篮球有3种打法，游泳有2种泳姿”这是加法（3+2=5）。
忽略边界条件：比如统计“1到50之间”是否包括1和50？计算循环时要确认起点和终点。

五、完整可运行的代码示例（带中文注释）

我们扩展一下原来的例子：统计1到100之间，个位是3、个位是5、或者个位是7的数各有多少个？因为这三个条件互斥（一个数的个位只能是一个数字），所以可以直接相加。

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int count3 = 0;  // 个位是3的个数
    int count5 = 0;  // 个位是5的个数
    int count7 = 0;  // 个位是7的个数
    
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        if (i % 10 == 3) {
            count3++;  // 发现个位是3，计数器加1
        }
        if (i % 10 == 5) {
            count5++;  // 发现个位是5，计数器加1
        }
        if (i % 10 == 7) {
            count7++;  // 发现个位是7，计数器加1
        }
    }
    
    int total = count3 + count5 + count7;  // 加法原理：三类加起来
    cout << "个位是3的数有 " << count3 << " 个" << endl;
    cout << "个位是5的数有 " << count5 << " 个" << endl;
    cout << "个位是7的数有 " << count7 << " 个" << endl;
    cout << "总共有 " << total << " 个符合条件的数" << endl;
    return 0;
}

运行结果：
个位是3的数有 10 个（3,13,23,...,93）
个位是5的数有 10 个（5,15,25,...,95）
个位是7的数有 10 个（7,17,27,...,97）
总共有 30 个符合条件的数

你可以验证：1~100中每10个数就有一个3、一个5、一个7，所以每个正好10个，加起来30个。完美！

六、更贴近校园生活的例子：统计考试成绩等级

假设一次考试，成绩满分100分，老师要统计“90分以上（含90）的同学人数”加上“60分以下（不含60）的同学人数”，因为一个人不可能同时属于这两个区间（互斥），所以可以直接相加。下面是程序片段：

int high = 0;  // 90分以上的人数
int low = 0;   // 60分以下的人数
int score;     // 某个同学的成绩

// 假设用循环输入成绩，这里用数组模拟
int scores[] = {95, 58, 72, 88, 45, 100, 61, 33, 92, 77};
int size = 10;  // 学生人数

for (int i = 0; i < size; i++) {
    if (scores[i] >= 90) {
        high++;  // 优秀
    } else if (scores[i] < 60) {
        low++;   // 不及格
    }
    // 注意：60~89之间的同学既不增加high也不增加low
}
int total = high + low;  // 加法原理
cout << "优秀人数：" << high << "，不及格人数：" << low << "，共" << total << "人" << endl;

七、相关知识点指引

乘法原理：当你需要分步完成一件事（比如先选主食再选饮料）时，用乘法原理。它和加法原理一起构成计数问题的两大基石。
容斥原理：当分类有重叠时，需要先加起来，再减去重复的部分。例如“1~100中能被2或3整除的数”就可以用容斥原理： $50 + 33 - 16 = 67$ 。
枚举法：加法原理经常和循环枚举配合使用，就像上面的代码一样，通过逐个数确认条件，然后累加计数器。

加法原理看似简单，但它是一个非常重要的逻辑工具。以后你遇到“满足某条件A或条件B的个数”时，先判断条件是否互斥，如果是，那就放心地“把不同的事情加起来”吧！

例题精讲