CC++ & Algorithm

进制转换——用不同的数字语言说话

中等5
语言版本：C++
概述：学习二进制、八进制、十进制、十六进制之间的转换方法，并了解如何在C++中实现。

用不同进制表达数字——二进制、八进制、十进制、十六进制轻松学

你平时用的数字是十进制，从0到9。但计算机只懂二进制，只有0和1。就像同样一句话，可以用中文、英文、法文来说。不同进制就是不同数字语言。我们来学几种常见进制，学会了就能和计算机“说同一种话”了。

什么是进制？——每个进制有自己的“数字词典”

  • 二进制：基数是2，用到的数字只有 0 和 1。计算机内部所有信息都用二进制存储。
  • 八进制：基数是8，数字是 0 ~ 7。（注意：没有8和9）
  • 十进制：基数是10，数字是 0 ~ 9。我们日常用的就是它。
  • 十六进制：基数是16，数字是 0 ~ 9，外加 A ~ F。其中 A 代表10，B 代表11……F 代表15。比如十进制的15，转成十六进制就是 F。

? 生活小例子：钟表上用的是六十进制（60秒=1分），而一周用的是七进制（7天=1周）。不同进制就像不同国家的语言，但数字本身的意思是一样的。

怎么把十进制数翻译成其他进制？——短除法倒着取余

方法：不断除以目标进制，记下每次的余数，最后把余数从下往上（也就是倒着）排列。

比如把十进制的 15 转成二进制：

  • 15 ÷ 2 = 7 余 1
  • 7 ÷ 2 = 3 余 1
  • 3 ÷ 2 = 1 余 1
  • 1 ÷ 2 = 0 余 1
    倒着取余数：1111，所以十进制的15等于二进制的 1111。

再转成八进制：

  • 15 ÷ 8 = 1 余 7
  • 1 ÷ 8 = 0 余 1
    倒着取：17，所以八进制是 17（读作“一七”，不是十七）。

转成十六进制：

  • 15 ÷ 16 = 0 余 15，15对应 F，所以是 F。

小窍门：用短除法时，当商变成0就停止。就像分零食：把一堆糖果按照每袋装几颗分好，剩下的就是余数。

怎么把其他进制数翻译成十进制？——按位权展开相加

每个数字所在的位置都有一个“位权”，从右往左第0位的位权是 进制^0=1，第1位是 进制^1，第2位是 进制^2……然后把每个数字乘以所在位的位权，再相加。

例如：二进制 1010 转十进制：

  • 从右往左：第0位0×2⁰=0，第1位1×2¹=2，第2位0×2²=0，第3位1×2³=8
  • 加起来：0+2+0+8=10，所以 1010₂ = 10₁₀。

再比如八进制 17 转十进制：

  • 第0位7×8⁰=7，第1位1×8¹=8，总和=15。

十六进制 F 转十进制：F=15，第0位，所以就是15。

生活例子：就像算零花钱，5张1元（位权1）、3张10元（位权10），加起来就是5+30=35元。

为什么计算机用二进制，程序员爱用十六进制？

  • 计算机用二进制：因为电路只有两种状态：开（1）和关（0），二进制最省事，不容易出错。
  • 程序员用十六进制：因为十六进制可以把一长串二进制写成短的形式。每4位二进制正好对应1位十六进制。比如二进制 1111 就是十六进制的 F，二进制 1010 就是 A。这样写起来既节省空间，又容易看出和二进制的关系。

C++ 自带“翻译机”——直接用库函数转换

C++ 中有现成的工具，我们可以像用翻译 App 一样简单转换。看下面代码：

#include <iostream>
#include <bitset>  // 用于二进制输出
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cout << "请输入一个十进制整数: ";
    cin >> n;

    // 输出二进制（用8位表示）
    cout << "二进制: " << bitset<8>(n) << endl;
    // 输出八进制（加上前缀0表示八进制）
    cout << "八进制: " << oct << n << "(前缀0) " << dec << endl;
    // 输出十六进制（加上前缀0x表示十六进制）
    cout << "十六进制: " << hex << n << "(前缀0x) " << dec << endl;

    return 0;
}

运行一下：输入15，输出：

  • 二进制：00001111
  • 八进制：17（前面会自动加前缀0表示八进制数，如017）
  • 十六进制：f（前面有0x表示十六进制，如0xf）

注意：bitset<8> 中的8表示用8位二进制显示，不足的左边补0。如果想显示更多位，可以改成 bitset<16>。oct 和 hex 是输入输出修饰符，用来告诉 cout 按八进制或十六进制输出；后面的 dec 是改回十进制，不然之后的所有数字都会按八进制输出。

自己动手写一个“手工转换机”——十进制转二进制（循环除2取余）

用库函数很方便，但自己实现更能理解原理。下面代码手动将十进制转成二进制（字符串形式）：

#include <iostream>
#include <string>   // 使用字符串
using namespace std;

int main() {
    int n;                          // 输入的十进制数
    cout << "请输入一个十进制整数: ";
    cin >> n;

    string result = "";             // 用来存放二进制结果（字符串）
    int temp = n;                   // 临时变量，避免改变原值
    while (temp > 0) {
        // 取余：余数就是当前最低位的二进制位
        int remainder = temp % 2;   // 余数只能是0或1
        // 把余数转成字符（'0'或'1'）拼接到结果前面（因为要倒序）
        result = char('0' + remainder) + result;
        temp = temp / 2;            // 继续处理商
    }

    // 如果输入0，结果应该是"0"
    if (result == "") result = "0";

    cout << "二进制: " << result << endl;
    return 0;
}

这段代码用 while 循环反复除2取余，并把余数放到字符串的最前面，这样最后得到的就是正确的二进制（不需要手动倒序）。

试试看：输入 15，输出 1111；输入 0，输出 0。（注意：代码里单独处理了输入0的情况，否则while循环不执行，result为空字符串。）

? 完整可运行示例——一个简单的进制转换器

下面程序让用户输入一个十进制数，然后同时输出二进制、八进制、十六进制（包含库函数和自实现二进制）：

#include <iostream>
#include <bitset>   // 库函数二进制输出
#include <string>   // 手动转换需要字符串
using namespace std;

int main() {
    int num;                     // 用户输入的十进制数
    cout << "请输入一个十进制整数: ";
    cin >> num;

    // ---------- 库函数方式 ----------
    cout << "\n【使用库函数】" << endl;
    cout << "二进制（8位）: " << bitset<8>(num) << endl;
    cout << "八进制: " << oct << num << "(前缀0) " << dec << endl;
    cout << "十六进制: " << hex << num << "(前缀0x) " << dec << endl;

    // ---------- 手动实现二进制 ----------
    string bin = "";             // 手动计算的二进制结果
    int temp = num;              // 临时变量
    if (temp == 0) {
        bin = "0";               // 输入0的特殊处理
    } else {
        while (temp > 0) {
            int digit = temp % 2;        // 当前位（0或1）
            bin = char('0' + digit) + bin; // 拼到前面
            temp /= 2;                   // 去掉最低位
        }
    }
    cout << "手动计算的二进制: " << bin << endl;

    return 0;
}

如果输入 15，输出效果如下：

请输入一个十进制整数: 15

【使用库函数】
二进制（8位）: 00001111
八进制: 17(前缀0)
十六进制: f(前缀0x)

手动计算的二进制: 1111

注意：手动计算的二进制没有前面的0，所以显示为 1111，而库函数 bitset<8> 补足了8位变成 00001111。

? 新手最容易犯的3个错误

  1. 余数顺序搞反
    比如转二进制时，把第一个余数放最前面，结果变成 1111→1111（正确）或者把第一个余数放最后，得到 1111→1111？不，如果顺序反了，15÷2余1→7÷2余1→3÷2余1→1÷2余1，如果按顺序正着写就是 1111，实际上和倒序一样（巧合）。但换成其他数比如十进制9：9÷2余1→4÷2余0→2÷2余0→1÷2余1，正着写 1001，而正确是倒序得到 1001，呃，其实还是对的？注意：这个例子正序和倒序不同！9÷2第一次余1，最后余1，中间两次余0，如果正着写（从第一次余数到最后一次余数）是 1001，而正确的倒序（从最后一次余数到第一次余数）也是 1001，因为对称。但换一个不对称的数：10（十进制）：10÷2余0→5÷2余1→2÷2余0→1÷2余1，正序得到 0101（即101），而正确倒序是 1010（即1010）。明显不同！所以一定要把余数从后往前写。

  2. 十六进制中字母大小写
    C++中输出十六进制时，字母默认是小写（af），但也可以改成大写：用 cout << uppercase << hex << num;。手写转换时，注意1015对应A~F。

  3. 忘记在C++中切换回十进制
    用 oct 或 hex 后，如果不加 dec 恢复，后面所有整数都会按八进制或十六进制输出。例如：

    cout << hex << 15 << " " << 16; // 输出 f 10，因为16在十六进制是10

    而加上 dec 后，cout << hex << 15 << dec << " " << 16; 输出 f 16。

? 学完这个，接下来可以学什么？

  • 进制之间的快速转换：比如二进制 ↔ 十六进制，每4位二进制一组直接转成一位十六进制。
  • 位运算：在C++中使用 &（与）、|（或）、^（异或）、<<（左移）、>>（右移）对二进制位进行操作，很多算法题会用到。
  • 大数的进制转换：当十进制数很大（超过int范围）时，需要用字符串模拟除法，这在信息学竞赛中很常见。

进制转换是计算机世界的“通用语言”，掌握它，你就更懂计算机的底层逻辑了！

例题精讲

1单选题

将二进制数101101.01转换为十进制数，结果正确的是？

A45.25
B45.5
C45.125
D45.75
2判断题

十六进制数0x1F3转换为十进制数是499。

3填空题
以下C++函数将十进制正整数转换为二进制字符串（无前导零）。请填空。
string decToBin(int n) {
    if (n == 0) return "0";
    string s = "";
    while (n > 0) {
        s = char('0' + n % 2) + s;
        ___;
    }
    return s;
}
4单选题

八进制数73.4转换为十六进制数，结果最接近以下哪个？

A3B.8
B3C.8
C3B.9
D3C.9
5判断题

在C++中，使用std::cout << std::oct << 255 将输出377。（假设已经包含<iomanip>）