进制转换 - CSP-J | C++ & Algorithm 编程研习社

进制转换：数字的“换装”游戏

你每天用的数字都是“十进制”——0、1、2……9，满十进一。但计算机的世界里，数字还有别的“穿法”：二进制（只有0和1）、八进制（0到7）、十六进制（0到9和A、B、C、D、E、F）。进制转换就像给数字换衣服——你可以把一个十进制数，按照规则变成二进制、八进制、十六进制，或者反过来。学懂它，你就知道计算机是怎么存数字、怎么算加减的了，以后学位运算也会轻松很多。

为什么需要不同的进制？

生活里：我们习惯十进制，因为人有十根手指。但计算机只有“开”和“关”两种状态，所以它用二进制（0和1）。
八进制和十六进制：是为了让人更方便地表示长长的二进制数。比如二进制11111111写成长串很累，但转成十六进制就是FF，两个字母搞定。颜色的RGB值（如#FF00FF）就是用十六进制表示的。
类比糖果：假设你有10颗糖，想按“2颗一组”分装，剩下的单独放。分完之后，组数就是高位，剩下的就是低位。十进制是“10颗一组”，二进制是“2颗一组”。所以10（十进制）转成二进制就是1010，因为10颗糖能分5组（余0），5组又能分2组（余1），2组分1组（余0），最后1组不能再分（余1），倒过来看就是1010。

1. 十进制转其他进制（“除基取余法”）

这是最核心的方法：不断除以目标进制（基数），记录每次的余数，最后把余数从下往上读。

十进制转二进制举例：把十进制数 `10` 转二进制

10 ÷ 2 = 5 余 0
5 ÷ 2 = 2 余 1
2 ÷ 2 = 1 余 0
1 ÷ 2 = 0 余 1   （商为0时停止）

余数从下往上：1010 → 就是二进制结果。

手写函数（保留原代码并加上注释）：

def decimal_to_binary(n):
    """把十进制整数n转换成二进制字符串"""
    if n == 0:
        return "0"
    result = ""  # 用来拼接余数
    while n > 0:
        result = str(n % 2) + result  # 余数拼到左边
        n = n // 2  # 整除2，继续下一轮
    return result

# 测试
print(decimal_to_binary(10))  # 输出 1010

十进制转八进制、十六进制也同理

比如把 255 转十六进制：

255 ÷ 16 = 15 余 15 → 十六进制里15是 F
15 ÷ 16 = 0 余 15 → F
结果：FF

但要注意：当余数大于9时，要映射成字母A~~F（对应10~~15）。所以要写通用函数，处理10~15。

Python内置函数直接转换

bin(10) → '0b1010'（0b前缀表示二进制）
oct(10) → '0o12'（0o前缀表示八进制）
hex(255) → '0xff'（0x前缀表示十六进制）

如果只想要纯数字串，可以用切片去掉前缀：bin(10)[2:] → '1010'。

2. 其他进制转十进制（“位权展开法”）

每个数位上的数字，乘以该位对应的“权重”（基数^位置），再全部加起来。

二进制 1010 转十进制：
- 从右往左，第0位（个位）权重是 $2^0=1$ ，第1位权重 $2^1=2$ ，第2位 $2^2=4$ ，第3位 $2^3=8$ 。
- 计算： $1 \times 8 + 0 \times 4 + 1 \times 2 + 0 \times 1 = 10$ 。
十六进制 FF 转十进制：
- F是15，最右边是第0位： $15 \times 16^0 = 15$ ；左边第1位： $15 \times 16^1 = 240$ ；总和255。

Python里用int(字符串, 进制)一步搞定：

int("1010", 2)   # → 10
int("FF", 16)    # → 255
int("17", 8)     # → 15（因为八进制17 = 1×8 + 7 = 15）

3. 自己写一个通用的进制转换函数

你可以把“十进制→任意进制”封装成一个函数，支持2~16进制。下面这个例子，再把“任意进制→十进制”也写出来，方便对比。

def decimal_to_base(n, base):
    """把十进制整数n转换成任意进制（2<=base<=16）的字符串"""
    if n == 0:
        return "0"
    digits = "0123456789ABCDEF"  # 0~15对应的字符
    result = ""
    while n > 0:
        remainder = n % base          # 余数（数值0~base-1）
        result = digits[remainder] + result  # 用对应字符拼到左边
        n = n // base                 # 缩小基数倍
    return result

def base_to_decimal(s, base):
    """把任意进制字符串s（2<=base<=16）转换成十进制整数"""
    digits = "0123456789ABCDEF"
    decimal = 0
    # 从最高位开始处理
    for ch in s:
        value = digits.index(ch.upper())  # 找出字符对应的数值
        decimal = decimal * base + value   # 用霍纳法（Horner）累加
    return decimal

# ----- 测试 -----
print(decimal_to_base(10, 2))    # 输出 1010
print(decimal_to_base(255, 16))  # 输出 FF
print(base_to_decimal("1010", 2))# 输出 10
print(base_to_decimal("FF", 16)) # 输出 255

生活中的小例子：你有零花钱45元（十进制），按二进制表示就是101101，因为32+8+4+1=45。用函数算一下：

print(decimal_to_base(45, 2))  # 输出 101101

4. 新手常犯的错误

余数顺序写反：有人喜欢把余数写在右边，得到0101（十进制10的错误结果）。记住：从下往上读，或者代码里把它拼到左边。
忘记处理0：如果输入n=0，直接返回"0"，而不能返回空字符串。
十六进制字母大小写混淆：Python里int("FF", 16)可以，但int("ff", 16)也行。但自己写的函数要统一处理大小写，比如转成大写。
基数搞错：比如二进制里出现数字2，那就不合法。int函数会报错。检查输入。
负数的转换：上面的代码只适用于非负整数。带符号负数需要额外处理（通常用补码表示），不过这个以后再学。

5. 完整可运行示例

把以上知识点整合成一个程序，演示几个日常数字的转换：

# 进制转换演示程序
def decimal_to_base(n, base):
    """十进制转任意进制（2~16），返回字符串"""
    if n == 0:
        return "0"
    digits = "0123456789ABCDEF"
    result = ""
    while n > 0:
        remainder = n % base
        result = digits[remainder] + result
        n = n // base
    return result

def base_to_decimal(s, base):
    """任意进制字符串转十进制整数"""
    digits = "0123456789ABCDEF"
    decimal = 0
    for ch in s:
        value = digits.index(ch.upper())
        decimal = decimal * base + value
    return decimal

# ---- 测试数据 ----
test_numbers = [0, 7, 10, 15, 100, 255]

print("十进制 → 二进制 → 八进制 → 十六进制")
for num in test_numbers:
    b = decimal_to_base(num, 2)
    o = decimal_to_base(num, 8)
    h = decimal_to_base(num, 16)
    print(f"{num:3d} → {b:>8s} → {o:>3s} → {h:>2s}")

print("\n反过来验证：")
print("二进制 1010 转十进制：", base_to_decimal("1010", 2))  # 10
print("八进制 17 转十进制：", base_to_decimal("17", 8))      # 15
print("十六进制 FF 转十进制：", base_to_decimal("FF", 16))   # 255

运行结果：

十进制 → 二进制 → 八进制 → 十六进制
  0 →        0 →   0 →  0
  7 →      111 →   7 →  7
 10 →     1010 →  12 →  A
 15 →     1111 →  17 →  F
100 →  1100100 → 144 → 64
255 → 11111111 → 377 → FF

反过来验证：
二进制 1010 转十进制： 10
八进制 17 转十进制： 15
十六进制 FF 转十进制： 255

6. 相关知识点指引

学完进制转换，你可以向更深的方向探索：

位运算：与、或、异或、左移、右移，这些操作直接基于二进制，能帮你写出更高效的代码（比如判断奇偶、乘以2的幂）。
计算机数据存储：整数在内存中是用补码的二进制表示的，了解原码、反码、补码会很有意思。
颜色表示：网页上的颜色#RRGGBB就是十六进制，比如#FF0000是红色，#00FF00是绿色。你可以写个程序把RGB（0-255）转成十六进制字符串。
ASCII码：字符在计算机里其实是一个数字（0-127），比如大写字母A是65，转成二进制就是01000001。
任意进制之间的互转：可以先把A进制转十进制，再转成B进制，这就是通用方法。

进制转换就像数字的“换装”游戏，掌握了它，你就能更懂计算机的心跳啦！

例题精讲