当计算机不会除法时，我们怎么教它算 123456789 ÷ 123？

先抛一个反直觉的事实：CPU 的算术逻辑单元里，其实并没有一条“除法指令”是天生就高效的。整数除法在所有基础运算里是最慢的——它本质上是一个“猜 + 减 + 修正”的迭代过程。硬件层面如此，算法层面也一样。

所以当你需要算一个 100 位的大整数除以一个普通 long long 时，别指望有什么魔法。最靠谱的方法，就是回到小学三年级：列竖式，逐位试商。

竖式的本质：把“除法”降维成“减法”

我们来看 123456789 ÷ 123 的竖式是怎么走的。关键在于，你从来不需要一步算出“123456789 里面有几个 123”。你只需要每次盯住一小段数字，问一个很弱的问题：

当前这个数，够减几次 123？

• 取前三位 123，够减 1 次，商 1，余 0。
• 拉下 4，得到 4，不够减，商 0，余 4。
• 拉下 5，得到 45，不够减，商 0，余 45。
• 拉下 6，得到 456，够减 3 次（456 - 369 = 87），商 3，余 87。
• ……

每一步的商最多是 9，因为如果够减 10 次，说明你上一步取的位数不够，应该多取一位。这个性质非常重要——它保证了“试商”这个动作的代价是常数级的。

用代码表达这个“拉下一位”的动作，就一行：

remainder = remainder * 10 + (ch - '0');

这行代码是整个算法的灵魂。它把“把下一位数字接在余数后面”这个竖式动作，翻译成了乘 10 加个位。然后：

int q = remainder / b;      // 这一位的商
remainder = remainder % b;  // 新的余数

注意，这里 remainder 始终小于 b，所以 remainder * 10 + 新数字 最大也就是 10b 左右，不会溢出（前提是 b 本身在 long long 范围内且不接近上限）。

一道题正好戳中这个关键点

有一道题问：用减法模拟长除法时，确定商的某一位的正确方法是什么？选项里有一个很诱人的错误答案——“直接用被除数剩余部分除以除数”。这在高精度场景下是循环论证：我们之所以要用减法模拟，就是因为被除数太大，没法直接做除法。如果 remainder 本身就是一个几百位的大数，remainder / b 这个操作你打算怎么实现？还不是得回到减法。

所以正确的做法是：反复减去除数，每减一次计数加一，直到剩余部分小于除数。这个计数就是当前位的商。由于商位只能是 0~9，循环最多跑 10 次，效率完全可接受。

这也解释了为什么高精度除法的时间复杂度大致是 O(n × 9)，n 是被除数的位数。每一步的试商代价是常数。

除数为 0：一个不能省的检查

另一道判断题说“用减法模拟长除法时，不需要考虑除数为 0 的情况”。这个说法错得很典型。

有人觉得：我又没写 / 或 %，只是反复减，怎么会出问题？问题恰恰出在“反复减”上。如果除数是 0，那么 remainder 永远不会小于除数（因为任何非负数都不小于 0），循环条件永远为真，程序直接死循环。这不是“数学上无意义”这么轻描淡写，而是实打实的运行时灾难。

所以无论你用哪种方式实现除法——直接运算符也好，减法模拟也好——除数检查都是第一道防线：

if (b == 0) {
    cout << "Error: division by zero" << endl;
    return 1;
}

这不是防御性编程的教条，而是算法逻辑本身的必然要求。

前导零：一个容易被忽略的边界

逐位算完之后，商是以 vector<int> 的形式按高位到低位存储的。比如 99 ÷ 100，每一位的商都是 0，得到 [0, 0]。如果你直接输出，会打印 00，这显然不对。

处理方式是从头扫描，跳过所有前导零，但要注意：如果跳完之后发现没有数字了，说明商就是 0，必须输出一个 0，而不是什么都不输出。

int start = 0;
while (start < quotient.size() && quotient[start] == 0) start++;
if (start == quotient.size()) cout << 0;
else for (int i = start; i < quotient.size(); i++) cout << quotient[i];

这个边界在竞赛里是常见的失分点，因为它只在“被除数小于除数”时触发，而很多人的测试用例恰好没覆盖到这种情况。

这套思路能走多远

减法模拟长除法只解决了“高精度除以低精度”的场景。如果除数本身也是高精度数，你就不能再用 remainder / b 和 remainder % b 了，得把试商也变成减法循环，或者用二分法加速。但核心思想没变：把除法拆成逐位的减法和移位。

理解了这一点，你就理解了为什么计算机做除法比做加法慢一个数量级——它本质上是在用迭代逼近一个本来“应该一步到位”的运算。

下次遇到大数除法，别慌。想想竖式，想想那个 remainder * 10 + digit，你会发现小学数学比你想象的要深刻得多。

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关于作者

我是赵老师，持有 NOI 信息学奥赛教练证书，拥有 15 年以上的软件开发经验，从事信息学少儿编程教学已有 8 年时间。

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